1、皮亚诺是研究数学基础的先驱人物之在思维方式乃至所采用的数学符号等方面都对罗素有着巨大影响。在这种影响下，《数学的原理》的写作大为“提速”。那年的最后三个月，罗素几乎以每天10页的速度推进着，年内就完成了数十万字的文稿(注三)。在那段被他称为“智力蜜月”(intellectualhoneymoon)的时期里，他不仅写作神速，而且每天都感觉到比前一天多领悟了一些东西。
2、例如，抽象概念的集合本身是抽象概念，但是，所有人的集合不是一个人；所有集合的集合本身是一个集合，但是，所有星的集合不是一个星。(罗素悖论的例子)。
3、数学史上的第三次危机，是由1897年的突然冲击而出现的，到现在，从整体来看，还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。由于集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑。
4、这位母亲细想片刻说到：我想你会吃掉我的孩子！
5、解悖：这个悖论由“知道”和“什么都不知道”两个命题组成，似乎自相矛盾，而且自相矛盾的两个命题都能成立。但两个命题所指的对象不同。“什么都不知道”这个命题的对象是外界事物，“知道”这个命题的对象是“什么都不知道”这个命题本身。
6、匹诺曹悖论和匹诺曹本身没有关系，如果匹诺曹说“我生病了”，这句话是可以判定真伪的，但是匹诺曹说的是“我的鼻子马上会变长”，就无法判定真伪，我们无法得知匹诺曹的鼻子到底会不会变长。
7、B.Russell,IntroductiontoMathematicalPhilosophy(DoverPublications,Inc.,1993).
8、作为生活必需品的水价值很低，奢侈品如钻石的价值却很高，但为什么水的价值比钻石低？
9、最后，到了公元前370年，这场危机被毕氏学派的欧多克斯通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第５卷中。两个几何线段，如果存在一个第三线段能同时量尽它们，就称这两个线段是可通约的，否则称为不可通约的。正方形的一边与对角线，就不存在能同时量尽它们的第三线段，因此它们是不可通约的。很显然，只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些困难和微妙之处。第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击。这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了。危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！
10、还有一些悖论抓住了人们认知的漏洞，其实并不是真正意义上的悖论，只能被称为“诡辩”或者“佯谬”。
11、有时候，数学的问题，可以在数学之外得到解决。
12、再比如定义f(x)=1ifx>0;f(x)=-1ifx那个这个函数在x=0处是没有定义的。再展开一下。比如定义f(x)=1ifx>0;f(x)=f(x)ifx=0;f(x)=-1ifx同样，这个函数在x=0处是没有定义的。再展开一下。比如定义f(x)=1ifx>0;f(x)=f(x)+1ifx=0;f(x)=-1ifx同样，这个函数在x=0处是没有定义的。如果有人定义了这样一个函数，那么怎么办呢？因此要取消所有的f(x)的意义吗？不用啊，只需要在没有定义(缺少定义，重言定义，矛盾定义)的地方追加定义即可。这就是维氏的解决方案。
13、不是所有的数都是平方数，所有数的集合不会超过平方数的集合。
14、罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。无怪乎弗雷格在收到罗素的信之后，在他刚要出版的《算术的基本法则》第２卷末尾写道："一位科学家不会碰到比这更难堪的事情了，即在工作完成之时，它的基础垮掉了，当本书等待印出的时候，罗素先生的一封信把我置于这种境地"。于是终结了近12年的刻苦钻研。
15、文章内容参考：胡作玄，第三次数学危机，四川人民出版社，1904
16、(5)有人——比如英国数学史学家格兰坦·吉尼斯(IvorGrattan-Guinness)在《寻找数学的基础：1870-1940》(TheSearchforMathematicalRoots,1870-1940)一书中——猜测罗素可能暗恋怀特海夫人。这一猜测若属实，则罗素因目睹怀特海夫人的痛苦而“变成了一个完全不同的人”，以及后文即将提到的他“顿悟”到自己已不爱结婚八年的妻子之事或许都会更容易理解些——但当然绝非必需。
17、节约悖论是指在经济萧条时期所有人都把钱存进银行，社会总需求会下降，反过来全社会的消费水平下降、经济增速减缓，全社会的资产总数也就下滑。悖论认为个人资产增值的同时，全社会资产反而减少，或者再放开了说，储蓄额的增加在荼毒经济，因为传统认为个人储蓄有益社会，但是节约悖论认为大规模的储蓄会对经济造成伤害。如果所有人都把钱存进银行，账面上个人的资产会增值，但是全社会总体的宏观经济趋势会下降。
18、1734年，英国哲学家、大主教贝克莱发表《分析学家或者向一个不信正教数学家的进言》，矛头指向微积分的基础--无穷小的问题，提出了所谓贝克莱悖论。他指出："牛顿在求xn的导数时，采取了先给x以增量０，应用二项式(x+0)n，从中减去xn以求得增量，并除以０以求出xn的增量与x的增量之比，然后又让０消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了违反矛盾律的手续──先设x有增量，又令增量为零，也即假设x没有增量。"他认为无穷小dx既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，这是荒谬，"dx为逝去量的灵魂"。无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。
19、19世纪末，第二次数学危机在集合论的完善下得到解决，数学家们“欢欣起舞”。在1900年国际数学家大会上，法国大数学家庞加莱甚至宣称：现在的数学，已经达到了绝对严密的程度！
20、如果回答可以，那么上帝将会遇到一块他举不起来的石头，说明上帝不是万能的；如果说不可以，那也说明了上帝不是万能的。
21、罗素在该悖论中所定义的集合R，被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于R是集合，若R含有自身作为元素，就有RR，那么从集合的角度就有RR。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要R有异于R的元素，又要R与R是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循RR的基本原则，否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切RR的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合，这就是同类事物包含所有的同类事物，必会引出最大的这类事物。归根结底，R也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。
22、鳄鱼琢磨了一会愣住了，心想：我要是吃掉孩子，说明你猜对了，我应该把孩子还给你；如果我不吃掉你的孩子，说明你猜错了，我又要吃掉你的孩子！
23、学生则说：“如果我胜诉，法官会判我不付学费；如果我败诉，那么按照约定，我仍然不必付学费。总之不付。”
24、这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难道就不悖吗？我们常说：
25、◆数学历史上的第一次数学危机：被扔进爱琴海的希帕索斯!
26、因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。
27、在当时的所有民族中为什么只有希腊人认为几何事实必须通过合乎逻辑的论证而不能通过实验来建立？这个原因被称为希腊的奥秘。
28、当前主流的解悖方案是蒯因的方案。蒯因的论证过程：假设村子里有如此一位理发师。如果他要给自己理发，根据他的规则，他不给自己理发。如果他不给自己理发，根据他的规则，他要给自己理发。矛盾。因此假设不成立，如此一位理发师不存在。
29、生日问题提出了一种可能性：随机挑选一组人，其中会有两人同天生日。用抽屉原理来计算，只要人群样本达到3存在两人同天生日的可能性就能达到100%(一年虽然只有365天，但是有366个生日，包括2月29日)。
30、大约在公元前370年才华横溢的希腊数学家欧多科索斯以及柏拉图和毕达哥拉斯的学生阿契塔给出两个比相等的定义，从而巧妙地消除了这一逻辑上的丑陋.他们给出的定义与所涉及的量是否可公度无关。其实这也是自然的，因为两个线段的比本来与第三个线段无关。当然从理论上彻底克服这一危机还有待于现代实数理论的建立。在实数理论中，无理数可以定义为有理数的极限，这样又恢复了毕达哥拉斯的“万物皆依赖于整数”的思想。
31、1906年之后，《数学原理》所遇到的技术瓶颈开始被突破，写作得以加速。那时候，怀特海因教书工作的羁绊无法花足够的时间在《数学原理》上，罗素开始以每天10-12小时，每年8个月左右的时间投入写作。但烦恼并未就此远离，随着手稿数量的增多，他又陷入了近乎杞人忧天的担忧之中，害怕手稿会因房子失火而被毁。
32、罗素悖论：设命题函数P(x)表示“x∉x”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x ∉ x}”。那么现在的问题是：A∈A是否成立？首先，若A∈A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由命题函数P知A∉A；其次，若A∉A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A∈A。
33、把集合分成两类，一类是包括自身的集合——比如叫做A类集合，一类是不包括自身的集合——比如叫做B类集合，显然一个集合不是A类集合就是B类集合，没有第三种可能，那么现在问：仅由所有B类集合组成的集合X，是A类集合还是B类集合？
34、首先，部分数属于平方数，其它则不是；因此，所有数，包含平方数和非平方数的集合必定大于单独的平方数。然而，对于每个平方数有且只有一个对应的正数平方根，切对于每个数都必定有一个确定的平方数；所以，数和平方数不可能某一方更多。这个悖论虽然不是最早但也是早在无限集合中运用一一对应的例子。伽利略在书中总结说，少、相等和多只能描述有限集合，却不能描述无限集合。
35、擅写短诗的古希腊诗人卡利马科斯(Callimachus)曾经言道：“一部大书便是一项大罪”(注一)。1959年，英国哲学家罗素(BertrandRussell)在《西方的智慧》(WisdomoftheWest)一书中引用了这句话，并“谦虚”地表示，“以罪而论，这是一部小书”(asevilsgo,thisbookisaminorone)；1982年，印度裔美国科学史学家梅拉(JagdishMehra)在《量子理论的历史发展》(TheHistoricalDevelopmentofQuantumTheory)一书中也引述了这句话，且跟罗素一样“谦虚”，表示以罪而论，他那部也是小书。
36、悖论意指自相矛盾的命题，但是在一些数学悖论中，也指代某些数学命题，只是该命题与人们的常识相悖，比如分球悖论就是这样的。
37、比如问一个人：“你下句话要讲的是‘不’，对吗？请回答‘是’或‘不’。”
38、如果它是非自谓的，就是说它对自身的修饰“非自谓”为假；则根据定义，它应该是自谓的。
39、这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子：
40、大书出版了，大钱赔掉了(注六)，但罗素把大书的完成比喻为重病患的死去并不恰当，书之于作者其实更像孩子之于父母，书的出版好比孩子的降生，未必是一个能让父母如释重负的时刻。事实上，罗素因这部大书而受“大罪”的历史并未就此终结。