1、一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
2、(注：线段的大集合，由线段构成；而每个线段又是两点之间所有点的小集合。)
3、我们遇到了一个矛盾：“所有‘不’自含集合的集合”，同时必须既“是”又“不是”自己的一个成员。
4、在19世纪之前，占主流地位的世界观认为数学是自然的语言，人类只能发现而不能发明数学。第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，直觉和经验不一定靠得住，因此几何学开始在古希腊数学中占有特殊地位。公元前300年左右，欧几里得在13卷巨著《几何原本》中从十条“不证自明”的公理出发，通过逻辑推理的方法建立了几何学体系，在西方成为仅次于《圣经》而流传最广的书籍。欧氏几何学一直被奉为“真理”和“确定性”的完美典范，提供了关于宇宙确实存在的无可辩驳性最稳固的理论证据牛顿的《原理》就是完全按照《几何原本》的公理化模式写成的。(罗素悖论的通俗版又被称为)。
5、公元前400年左右无理数的发现，引发了史上第一次数学危机，成为数学史上的重要里程碑。柏拉图最先把数学、科学、语言学、宗教、伦理等学科融合在一起，认为数学真理是指存在于理想世界中抽象无形的客观真相。这个理想世界是所有真理和完美的汇集地，与我们感知到的、短暂的世界无关，数学形式的柏拉图世界与物理世界也截然不同。数学家在某种意义上等同于探险家，他们只能发现真理，却不能发明真理。
6、解决无穷的难题已经够困难了，而康托尔在1874年证明了实际上有不同的无穷。尤其是证明了实数集合的不可数性，他证明了这个集合比自然数的现存无穷集要大一些。
7、然而，我们已经将B定义为，“所有‘不’自含集合的集合”(thesetofallsetsthatdonotcontainthemselves)。
8、其实恰恰相反，悖论的提出和解决推动着科学的进步。
9、留言区谈谈你对这个问题的看法，精选2位读者，赠送《最后的数学问题》1本。截止时间：文章发出后24小时。
10、有一位理发师，他宣称只给所有不给自己理发的人理发。
11、对于所谓的“集合”(set)是什么，我们感到有些模糊。
12、上面这些就是让数学感到尴尬大事件，这里我们说尴尬这个词，是对绝望、混乱的轻量级描述，而实际上这些纷繁问题都是数学家们经历过的内心体验。但无论怎样，每一次撼动数学的问题也都是对科学向前发展的又一级助推。
13、不要小看这个无法理发的理发师，它的出现动摇了当时整个数学的基础，造成了所谓的第三次数学危机！
14、老师告诉学生说：“如果我胜诉，法官会判你付学费；如果我败诉，那么根据约定，你还是要付我学费。总之这个钱你是一定要付。”
15、罗素悖论：这就是为什么数学不能拥有一个“所有事物”的集合
16、(2)如果A不包括其自身，也没问题。如果A不包括其自身，A当然不会满足“成为A的一个成员”的条件。
17、这从根本上来讲并不是语言或语法问题，而是一种逻辑错误。
18、M：一天，有个旅游者回答——旅游者：我来这里是要被绞死。M：这时，卫兵也和鳄鱼一样慌了神，如果他们不把这人绞死，他就说错了，就得受绞刑。可是，如果他们绞死他，他就说对了，就不应该绞死他。
19、无穷的世界，一直被视为上帝尘封的大门。康托则打开了潘多拉的盒子，他也为此付出了极其惨重的代价。他的成果遭到同时代数学大师无情地嘲讽。以康托的导师克罗内克为首的数学家组成反康托的联盟，对他进行科学和精神上的双重羞辱。备受打击的康托终于精神崩溃，一度患精神分裂症，最终于1918在德国一家精神病院郁郁而终。
20、M：著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着：告示：城里所有不自己刮脸的男人都由我给他们刮脸，我也只给这些人刮脸。
21、在世纪之交，卓越的分析哲学家伯特兰·罗素(BertrandRussell)，发现这一概念(即，自含集合)中的一个严重问题，被称为“罗素悖论”。
22、那时候的1还属于质数，所以可以这么描述。而现在，1不归于质数之列。所以原来哥德巴赫的猜想(弱哥德巴赫猜想)变为“任何不小于7的奇数，都可以写成三个质数之和”。弱哥德巴赫已经在2013年被秘鲁数学家哈洛德·贺欧夫各特彻底证明。
23、悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏(一种在小方格中插小木条的游戏)时分析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯·纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。
24、罗素悖论的一个更为通俗的例子叫作“理发师悖论”，如下：有一个小城，它有这样一个规矩：凡是不给自己刮脸的人都要去找理发师刮脸。很尴尬的问题便是，那么谁来给理发师刮脸？
25、另外，停机问题和罗素悖论类似，都含有自我指涉的问题。而罗素悖论，通俗描述可比喻为“理发师悖论”：小镇里的理发师表示，他只为且一定要为镇里所有不为自己刮胡子的人刮胡子，那么他该为自己刮胡子吗？1903年，罗素提出了对康托尔集合论的疑问，他构造了一个由一切不属于自身的集合组成的集合S，然后问集合S是否属于集合S，这引发了第三次数学危机。后来在策梅洛等人的改进下，公理化集合论体系，避免了罗素悖论。这次危机让数学家们加强了对数学基础的研究，比如对自我指涉的研究发展成了著名的哥德尔不完备定理。
26、至此，朴素集合论，似乎在别处仍然成立，所以我们似乎OK。
27、当谈及哲学推理的时候，古希腊人当然做出了巨大的贡献。
28、罗素悖论，及其在“现代公理化集合论”(modernaxiomaticsettheory)中的解决，展现了我们对于数学的理解，如何随着时间而进化和精细化。
29、☞如何向5岁小孩解释什么是支持向量机(SVM)？
30、我们正在讨论的二十世纪，人们不仅仅是想知道，而且还想知道有没有可能去了解并证明一个东西。人类想要了解宇宙，哥德尔在1931年发表了两个定理，统称哥德尔不完备定理。
31、面对这样的流氓推理，即使圣贤如孔子，不能作答也实属正常。
32、有一次发大水，淹死了一个富商，尸体被别人打捞起来，富户的家人要求赎回。
33、无理数的发现把古希腊人领向了新的一个发现，它更为震慑人心，那就是：无穷！因为无理数的特征就是具有无穷数量的十进制数位，于是古希腊人当时必须构思出一个合理的解释来说明怎样创造无穷数量的数。即使是在现如今无穷的概念都很难去理解，更不用说在当时那个宗教与科学紧密相连的时代，而且数学里的信仰不能挑战对上帝的认知。
34、经过两千多年的发展，数学已经构建出一座无比富丽堂皇的宏伟大厦。集合论，却始终是这座大厦最底层的根基。如果集合论出现了裂痕，整个数学大厦都可能摇摇欲坠。令人唏嘘的是，第三次数学危机就发生在数学的基石之上。一个关于集合的悖论很快以摧枯拉朽之势席卷了数学界，不仅让集合论风雨飘摇，更是差点将现代数学毁于一旦。
35、发明“集合论”(settheory)的人同样如此，他们从一个相当模糊的“集合”概念出发，而这种模糊导致了一些严重问题。
36、有趣的莫比乌斯带，是由德国数学家、天文学家莫比乌斯和约翰·李斯丁在1858年独立发现的。它是一个只有面和一条边的曲面，常常被用来迷惑数学新生。
37、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，而且很快渗透到大部分数学分支，并成为它们的基础。但到了19世纪末，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素悖论的提出，使数学的基础动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
38、上千年来的数学研究和哲学思考都没有真正解释清楚数学力量的奥秘，爱因斯坦曾好奇地发问：“数学，这个独立于经验的人类思维的产物，为何能如此完美地符合物理实在中的对象？”
39、https://www.businessinsider.com/how-russells-paradox-changed-set-theory-2013-11
40、如果集合A不是自己的元素，那么集合A就满足“不包括自己的集合”的定义，应该是此集合的元素之矛盾。