1、文章开头的理发师悖论实际上就是罗素悖论的通俗版本：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。同理还有书目悖论：一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？这个悖论与理发师悖论基本一致。
2、1908年，策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来经其他数学家改进，称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。
3、就在1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱高调宣称：“……借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”
4、 运动场悖论：三列物体A、B、C，A静止不动，B和C相向而行.相同的一段距离，B经过C中的物体数量是经过A中的两倍，推得一半时间和整体时间相等.
5、1930年，罗素58岁，在纽约同约翰·库柏·波伊斯辩论“现代婚姻是不是失败？”写出《哲学对文明作过贡献吗？》，出版《赢得快乐》。
6、图(二分法悖论)(阿氏与龟)(飞矢不动)(运动场悖论)
7、访德访美，让罗素眼界大开，要出人头地，必须要有超人的作品，而罗素最擅长的还是数学与哲学。
8、可是，罗素让数学的基础动摇了，这就是数学史上著名的第三次数学危机。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了几十年得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
9、危机微积分的合理性遭到严重质疑，险些要把整个微积分理论推翻。
10、数学家伯努利建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律；
11、 1976年，阿贝尔和哈肯宣布用计算机证明了“四色猜想”。美国伊利诺伊地方邮局立刻用邮戳“Fourcolorssuffice”表示了祝贺，但数学界并不满意。原因是，数学家不知道怎样检查他们证明的正确性(阿贝尔和哈肯用自己的程序工作了四年，花了1200个计算机小时，检查了3000多个数学结论)；还有，这里“数学证明”的概念远不是数学家习惯的模样儿，发生了突变。
12、 关于推理模式的变革，不能不提维克托的著作《大数据时代》。维克托拥有在哈佛大学、牛津大学等多个互联网研究重镇任教的经历。有书评说：维克托最具洞见之处在于，他明确指出大数据时代最大的转变是放弃对因果关系的渴求，取而代之关注相关关系。也就是说只要知道“是什么”，而不需要知道“为什么”。这就颠覆了千百年来人类的思维惯性，对人类的认知和与世界交流的方式提出了全新的挑战。
13、图灵奖得主Hamming的22年前经典演讲：如何做研究，才能不被历史遗忘
14、然而在这个证明过程中，我们需要思考的是，逻辑矛盾是来自整个推理链条，并不是仅仅来自于前提。
15、罗素悖论的提出，引发了数学上的又一次危机，数学家辛辛苦苦建立的数学大厦，最后发现基础居然存在缺陷，数学家们纷纷提出自己的解决方案；直到1908年，第一个公理化集合论体系的建立，才弥补了集合论的缺陷。
16、幸运的是，柯西站了出来，并用极限的方法对无穷小量进行了定义，这才使得微积分理论得以完善，从而继续发展下去。
17、“万物皆数”是古希腊毕达哥拉斯学派坚不可摧的信仰。所谓“万物皆数”就是指任何的实数都可以表示为两个整数的比值。然而学派引以为傲的毕达哥拉斯定理(也就是我国俗称的勾股定理)却恰恰成了其信仰的终结者。
18、斯坦福大学人工智能实验室主任：李飞飞——ImageNet之后，计算机视觉研究最新进展
19、当这位70岁的Hinton老人还在努力推翻自己积累了30年的学术成果时，我才知道什么叫做生命力(附Capsule最全解析)
20、(解析)第三次数学危机为数学罗素悖论的产生。第三次数学危机引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题，导致无矛盾的集合论公理系统的产生。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。到现在，从整体来看，第三次数，学危机还没有解决到令人满意的程度。
21、到了十九世纪，先后有众多杰出的数学家为微积分学的奠基工作而努力。
22、原来，在1734年，英国哲学家乔治·贝克莱出版了名为《分析学家或者向一个不信神数学家的进言》的一本书。
23、危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。
24、通过对集合定义加上一些限制来排除目前的悖论，这些限制因素必须足够强，这样才能保证排除目前的悖论；同时这些限制又必须特别弱，这样才能使得集合论中有价值的结论能够保留下来。策梅洛在1908年提出第一个公理化的体系，该体系后来不断改进，形成了现在著名的ZF系统，有效弥补了集合论的悖论。除了著名的ZF系统，公理系统还有很多：例如NBG系统。
25、如果我们问，一个元素的集合可以包括它自己吗？这个答案是肯定的。比如，一个集合由所有含无限多元素的集合组成，那这个集合中肯定包括它自己。
26、其人弗能应也。对于这个故事，我们都很清楚地知道，之所以会出现矛盾，是因为这位楚人过分夸大他的予与盾。关于该予是否能刺穿该盾，这位楚人给出了自相矛盾的说法。因此，对于该予是否能刺穿该盾，这位楚人并没有给出定义。而对于该矛是否能刺穿其他盾，不管对与错，这位楚人给出了确定的答案。我们读完这个故事，并不会认为，楚人的矛与盾不能存在。或者认为，这位(卖这样的矛与盾的)楚人不能存在，或者更荒唐地认为，《韩非子》这本书并不存在。其实，逻辑矛盾说明的是，书中的楚人对于矛与盾给出的说明是矛盾的。然而，到了近代，又有了一个类似的悖论，我们却给出了奇怪的答案。
27、(3)圆规可以开至无限度宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开你之前构造过的长度。
28、那么本周智慧空间的题目就分享到这里，同学们如果还有其他想了解的知识点和题目，请关注平行线智慧空间，
29、为解决这个悖论引起的危机，出现了三大学派的三种方案。罗素的逻辑主义方案：他认为“数学即逻辑”，提出了类型论避免悖论；布劳维的直觉主义方案：只用构造性证明来避免悖论；希尔伯特的形式主义方案：提出希尔伯特规划，建立“元数学”，用有限步骤的证明来避免悖论。三大学派三种方案大大推进了数理逻辑和数学基础的研究，出现了许多令人赞叹的成果，其中影响最为深远的当属哥德尔不完全性定理。
30、预言三：外国人将中国改造为现代国家是一件很困难的事，应该静待中国人自行解决。只有中国人才最了解中国，他们自己会慢慢摸索出解决办法才是长久之计。
31、他们抨击牛顿和莱布尼兹的微积分理论虽然是建立在无穷小的分析上，但是他们对无穷小量的理解与运用却十分混乱，这种对微积分合理性的抨击和质疑，使得整个微积分理论险些被推翻。
32、1929年，罗素57岁，在美国巡回演讲。在伊利诺州埃文斯顿的西北大学为当代思想班学员演讲《通向世界的三条道路》。出版《婚姻与道德》一书。
33、 从三次数学危机解决的途径可见，前两次解决方案使得数学知识网络系统增加了节点，而第三次却是限制这个网络系统的扩张。由此可见，这个网络的自然扩张不仅有奇点，而且有边界。
34、中学生的认识能力有一个逐步发展的过程，他们抽象思维能力较低，对教材中概念、原理、规律等知识的理解比较困难；形象思维能力强，精力旺盛，但注意力容易分散。通过分析了解不同层次学生的生理心理与学习该内容是否相匹配及可能产生的知识误区，充分预见可能存在的问题，在课堂上有针对性地加以分析，使教学工作具有较强的预见性，针对性和功效性。
35、数学发展史上曾经历过三次危机，触发第三次数学危机的事件是( )
36、现实不是科幻小说，科学发展中出现的任何理论危机都意味着我们认识的不足，也激励着一代又一代的科学家们去探索、发现。因此，我们不必追求完美的理论，相反，真理的丧失、权威的崩塌才是学科发展前所未有的良机。
37、1958年，罗素86岁，为促进核裁军活动，而后创立非暴力反抗运动百人委员会。20世纪60年代，罗素出版了自己的三卷自传《罗素自传》，并参与了肯尼迪遇刺事件的调查。
38、凡事无绝对，果然，在1903年，数学家们发现集合论其实有个大漏洞！
39、编者按：当前人工智能不可解释性依然成为制约其发展的关键与瓶颈，本文从逻辑推理的角度深入探讨了AI“不可读”的根源，即人们通过计算机和人工智能把一系列逻辑推理压缩在一次逻辑推理里，造成了自然人的“不可读”。同时，在剖析数学领域三次危机的过程中，探讨了构建庞大的逻辑推理网络动力系统对AI的必要性和可行性，进而通过疫情预测事例，提出“从尺规作图到机器证明”的大逻辑解决思想。
40、最早使微积分严谨化的是拉格朗日。为了避免使用无穷小推断和当时还不明确的极限概念，拉格朗日曾试图把整个微积分建立在泰勒式的基础上。
41、于是，来找他刮胡子的人络绎不绝。。。(当然，这些都是不给自己刮胡子的人)
42、至此，这场关于数学基础的争论终于结束，同时也宣告了把数学彻底形式化的愿望是不可能实现的。
43、策梅洛，提出公理化集合论，这就是集合论发展的第二个阶段。
44、第四次数学危机是第三次数学危机的自然延续，它将以引发全面的科学的危机为标志，是一场“数学化科学的危机”。因为哪怕有着重重限制，科学的数学化从而也是公理化总是要进行下去的。数学本身可能不再是想法避开悖论，而是接纳、利用它去开拓一种全新的逻辑思路，开头提到的区别悖论标准形式和传统矛盾律中的矛盾也是思路之一。就是说，曾作为人类基本思维规律的矛盾律、排中律甚至同一律即使在二值逻辑中也不再成立，而代之以悖论的否定形式。真正的矛盾律应该是：并非(P当且仅当非P)，而不是传统的并非(P且非P)。我们还看到，这应该和量子物理中最基本的海森伯不确定性原理和玻尔互补原理联系起来。悖论幽灵将越出它固有的逻辑和数学领地，占据自然科学的一系列制高点。当它同样在其他学科中制造出一系列危机时，这些学科也就同时获得了飞速发展的极大机遇。
45、目前，关于数学基础的各派思想依然层出不穷，至今没有形成一个在数学界被普遍接受的理论。
46、1911年，罗素39岁，担任亚里士多德学会主席。学术上达到了一个新的高度。但家庭走向了一个新的低度，这一年，与夫人分居。
47、(1)尺规作图使用的直尺和圆规带有想象性质，跟现实中的并非完全相同；
48、 第一个例子是四色猜想。1852年10月，英国有位刚大学毕业的青年人在给地图着色的过程中发现似乎只需要4种颜色。1878年6月13日，英国数学家凯莱在伦敦数学会上正式提出四色猜想，同时发表于会议的论文集。从此，吸引了全世界的数学家致力于四色猜想的证明，但一直没能解决。
49、1876年，罗素4岁，父亲去世。祖母监护。祖母没有让罗素上一般子弟公学，而是让他在家接受保姆和家庭教育的教育。祖母送罗素一本《圣经》，对他非常严厉。祖母特别讲究规矩和清教徒的美德，而且不允许怀疑。
50、1951年，罗素79岁，在纽约哥伦比亚大学马切特基金会讲座演讲“科学对社会的影响”。为哥伦比亚广播电台的第三节目撰稿，谈《美国的政治和文化影响》、《科学方法的性质与根源》，以及《怀疑主义与忍让》。
51、1947年，罗素75岁，在同仁寓所向全英图书会社讲演《哲学与政治》。
52、1890年，罗素18岁，进剑桥大学三一学院，大一至大三专攻数学。获数学荣誉学位。
53、作者介绍：杨浩，新东方智慧学堂授课老师，北大学士。全国高中数学联赛一等奖，高中物理竞赛一等奖，获得北京大学自主招生60分降分。
54、村子里有一位理发师，他声称：“他给自己理发当且仅当他不给自己理发”，由此可以得出这样一位理发师不存在。论证过程如下：假设村子里有如此一位理发师。如果他要给自己理发，根据他的规则，他不给自己理发。如果他不给自己理发，根据他的规则，他要给自己理发。矛盾。因此假设不成立，如此一位理发师不存在。
55、 推动这个网络系统演化的唯一动力是人类的逻辑推理。某个自然人由一个或几个已知的知识点推出一个新的知识点，这个网络就增加了一个节点；当有人发现一些既有的节点之间的因果关系可以简化时，还可以用推理把这个网络进一步简约化；推理也可能发现老节点之间因果关系的错误，予以删除，实现这个网络的纠错。
56、成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。
57、1916年，罗素44岁，因撰写《战时的正义》小册子批评对一位拒服兵役者被判两年徒刑的埃弗里特案件而遭罚款100英镑。变卖图书偿付罚金，朋友们为其买下图书。失去在三一学院的讲师职位。
58、反证法是借助矛盾的论证方法，首先假设前提成立，然后进行逻辑推理与概念分析，进而得到逻辑矛盾，由此证明前提不成立。
59、像微积分的产生一样，集合论的产生也遭到了猛烈的攻击。
60、终于有人把云计算、大数据和人工智能讲明白了
61、1933年，罗素61岁，写出《数学的性质》。
62、泰勒斯—米利都学派(也称爱奥尼亚学派)的创始人。被誉为“科学和哲学之祖”“希腊七贤之首”。在数学方面划时代的贡献是引入了命题证明的思想，标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。
63、1950年，罗素78岁，获得诺贝尔文学奖。“表彰他所写的捍卫人道主义理想和思想自由的多种多样意义重大的作品”。达到了人生的巅峰！
64、直到1931年，哥德尔提出了一系列不完备定理并予以证明：
65、1920年，罗素48岁，罗素出狱，访问俄国，写作《布尔塞维克主义的理论与实践》。访问中国，在北京讲学一年。好像中国很多知名学者的文章中都谈到过这事。二年后，他写出《中国的文化问题》一书，对中国有四个预言：
66、 运动场悖论：这一悖论的问题在于“从空间位移分析时间的流逝上面提及的B、C相对A各自是一个单位的时间流速，而B、C之间是两个时间单位.
67、49岁，与阿鲁丝分居10年后离婚，同多拉·布莱克结婚，有一儿一女。63年，与多拉·布莱克离婚。
68、当年危机的根源直到19世纪康托尔集合论问世才最终揭明，康托尔用一种巧妙的对角线证明法证明实数集基数不同于自然数集有理数集的基数，它比后者要大。用实数集的基数他构造了一个最大基数的悖论，就是康托尔悖论。实数集的序数也可构造出一个最大序数的悖论，称为布拉里—福蒂悖论。当然，在古希腊时代和整个漫长的中世纪，人们还看不到这一点。
69、其实除了罗素悖论，之前在1897年，福尔蒂揭示了集合论中的第一个悖论。两年后，康托尔发现了很相似的悖论。最后罗素给了数学集合论致命一击，这造成了数学史上第三次危机。
70、浅显易懂的罗素悖论一经问世，便在数学界和逻辑学界引起震动，而因此引发的巨大反响更是造就了这场第三次的数学危机。