1、这时候罗素老师重申：这个班里禁止套娃！！！各位集合们，如果你是自己的元素，请离开教室。有的集合这才发现自己是套娃，赶紧告辞。
2、有一天一名顾客来到店里看到了这块牌子，他就问理发师：“你给自己刮胡子吗？”
3、因为，如果他给自己理发，那么他就属于自己给自己理发的那类人。
4、现实不是科幻小说，科学发展中出现的任何理论危机都意味着我们认识的不足，也激励着一代又一代的科学家们去探索、发现。因此，我们不必追求完美的理论，相反，真理的丧失、权威的崩塌才是学科发展前所未有的良机。
5、一艘可以在海上航行几百年的船，归功于不间断的维修和替换部件。只要一块木板腐烂了，它就会被替换掉，以此类推，直到所有的功能部件都不是最开始的那些了。问题是，最终产生的这艘船是否还是原来的那艘特修斯之船，还是一艘完全不同的船？如果不是原来的船，那么在什么时候它不再是原来的船了？
6、发明“集合论”(settheory)的人同样如此，他们从一个相当模糊的“集合”概念出发，而这种模糊导致了一些严重问题。
7、本文根据第二届华夏基石十月管理高峰论坛黄卫伟教授演讲整理分享人：黄卫伟，华夏基石管理咨询集团领衔专家，著名经济学家和企管学家，华为首席管理科学家来源：华夏基石e洞察(ID：chnstonewx)，本文经授权转载
8、2)否认恶的存在，即认为恶并没有实体性的存在，只是善的缺乏；
9、如果是上帝能阻止“恶”而不愿阻止，那么上帝就是坏的；
10、设集合S是由一切不属于自身的集合所组成，即“S={x|x∉x}”。那么问题是：S属于S是否成立？首先，若S属于S，则不符合x∉x，则S不属于S；其次，若S不属于S，则符合x∉x，S属于S。
11、维特根斯坦反复强调：“数学家不是发现者，而是发明者。”，又说“数学家一直在发明新的描述形式。有的人受实际需要的刺激，另一些人出自审美需要，还有些人以其他种种方式。”
12、因此，在研究关于线段的几何学中，我们分析在一个平面中，所有线段之集合的属性。而这个集合的构成元素(即，线段)，它们本身也是集合。
13、假设你回到过去，在自己父亲出生之前，把自己的祖父母杀死；
14、书目悖论：一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书，那么它列不列出自己的书名？
15、但是，从集合论诞生的那一天起，针对集合论的诘难和各种悖论的出现就没有停止过。尤其以1902年罗素悖论最为有名。数学家们只享受了集合论带来的短暂的祥和，就又陷入了一种无法解决的危机之中，这就是第三次数学危机。因为集合论已经成为了现代数学的基础，渗透到数学的各个分支之中，因此集合论的这个悖论才会引发这么多的关注。
16、然而，我们已经将B定义为，“所有‘不’自含集合的集合”(thesetofallsetsthatdonotcontainthemselves)。
17、这即是“伊壁鸠鲁悖论”，由伊壁鸠鲁提出。这个悖论是“神议论”问题的经典表述，至今仍然是宗教哲学与神学中的一个难题。
18、如果是上帝能阻止“恶”而不愿阻止，那么上帝就是坏的；
19、经常被用来表示集合论的文氏图(VennDiagram)
20、举个例子，就像一开始根据乘法来定义除法a/b=ciffa=b*c，就会得出0/0=2=3这样的矛盾。怎么解决这里的矛盾呢？难道要取消所有的除法？当然不是了，只需要在矛盾的地方重新定义一下：0不能作除数。瞧，问题就解决了。
21、在概率论(probabilitytheory)中，我们将“事件”(events)考虑为诸多结果的集合(setsofoutcomes)；所以诸多事件的聚集，也是一个大集合，由其他集合构成。
22、A={1,2,3}是一个集合，里面有三个元素，分别是3；
23、“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”
24、同时，我们对于下述建构也要谨慎得多，比如“不是自然数的‘所有东西’的集合”(thesetofeverythingthatisnotanaturalnumber)。
25、许多卓越的数学家深为这新的理论所起的作用而感动，希尔伯特(Hilbert)称“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中开除出去”。
26、(注：线段的大集合，由线段构成；而每个线段又是两点之间所有点的小集合。)
27、(简言之，如果B自含，则B将不属于B，则B将不自含，矛盾；如果B不自含，则B将属于B，则B将自含，矛盾。)
28、我们遇到了一个矛盾：“所有‘不’自含集合的集合”，同时必须既“是”又“不是”自己的一个成员。
29、如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
30、但是从整体上来看，康托尔的工作解决了很多长久未解决的问题，在分析学、拓扑学中起到了重要作用，并且集合论渗透到越来越多的数学领域，成为数学基础理论不可分割的一部分。
31、在《数学原理》中，罗素阐释了一个集合论悖论，由于它只涉及集合论中最基础的东西，易于理解，因而在数学界广泛传播。
32、来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
33、要是他不给自己理发 , 他也违反了自己的规定 ; 因为按规定 , 他一定得给自己不理发的人理发, 所以他也得给自己理发。
34、加利福利亚州也不是自然数，所以我们也会把它扔进集合。
35、忒修斯悖论最早出自普鲁塔克的记载。它是这样描述的：
36、来源：华夏基石e洞察(ID：chnstonewx)
37、芝诺提出，由于箭在其飞行过程中的任何瞬间都有一个暂时的位置，所以它在这个位置上和不动没有什么区别。
38、飞矢不动悖论是古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论中的一个。人们通常把这些悖论称为“芝诺悖论”。
39、如果集合A不是自己的元素，那么集合A就满足“不包括自己的集合”的定义，应该是此集合的元素之矛盾。
40、这位理发师该不该给自己刮脸？如果他不给自己刮脸，那么，他属于“自己不刮脸”的那一类村民，按规定，他必须给自己刮脸。如果他给自己刮脸，那么，他属于“自己刮脸”的那一类村民，按规定他绝不应给自己刮脸。因此，不刮，该刮；刮，不该刮！
41、“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”
42、这个悖论，以及产生自“自含集合”(setsthatcontainthemselvesasmembers)，和产生自巨大的、不充分定义的“所有事物”之集合的其他难题，使得我们必须重新审视“集合”这个概念：它要更加正式，并且基于公理。
43、根据我们的直觉，“集合”应该是“事物的聚集”(acollectionofthings)，而朴素集合论，基本上就把这一直觉，当作了“集合”的定义。
44、B={x|x是偶数}是一个集合，包含所有的偶数，有无限多个元素；
45、让我们首先考虑，“所有自含集合的集合”(thesetofallsetsthatcontainthemselvesaselements)，称之为“A”。
46、集合论认为：“所有集合所组成的集合”也是一个集合，故这类集合的特点是：集合本身可以作为自己的一个元素。
47、我们不会去使用“所有事物”(everything)这种大到没边儿的词，诸如此种集合，必须被构建为诸多下属集合(subsets)，而它们又要属于我们已经明确定义的一个更大的集合。
48、一艘可以在海上航行几百年的船，归功于不间断的维修和替换部件。只要一块木板腐烂了，它就会被替换掉，以此类推，直到所有的功能部件都不是最开始的那些了。问题是，最终产生的这艘船是否还是原来的那艘特修斯之船，还是一艘完全不同的船？如果不是原来的船，那么在什么时候它不再是原来的船了？
49、集合论是颠覆了很多前人的想法，因而很难为人所接受。比如权威克罗内克就曾攻击康托尔的理论长达十年以上，甚至康托尔自己也发现集合论中其实存在着漏洞无法解决，以至于一度精神崩溃，最终在精神病院逝世。
50、1)恶是上帝计划中的一部分，是其实现善的手段；
51、罗素悖论(Russell’sParadox)：设集合?={x|x∉x}，即?包括所有不包括自身的集合。
52、在一个城市里，唯一的理发师立下了一个规定：只帮那些自己不理发的人理发。那么，理发师应该为自己理发吗？
53、华为为中国企业在世界市场的成功提供了两个重要启示：一个启示是从人的头脑中挖掘大油田、大森林、大煤矿。所以任正非说，“资源会枯竭，惟有文化才会生生不息，一切工业产品都是人的智慧创造的。华为没有可以依存的自然资源，惟有在人的头脑中挖掘……”所以华为坚持“销售收入的10%拨付研发经费，必要时可能还要加大拨付的比例”。中国的人口红利在减少，环境代价在上升，低成本优势在减弱。中国企业哪里去寻找新的优势？中国已经到严重危机的时候，我们产能严重过剩，这个在西方就是到了“牛奶往海里面倒”的时候了。中国已经到了这个程度，中国企业向哪里寻找新优势？中国最丰富的资源是人力资源，是高素质的人力资源。中国企业应该把自己的优势牢牢的建立在中国的人力资源优势上，要探索出一套吸引、留住这个大规模的人力资源管理激励体系。这个是一个长期的任务，因为中国的自然资源是匮乏的，中国自然资源在世界上人均占有量几乎是属于最低的。所以，一旦我们的整个经济、整个管理、整个竞争优势转向人力资源，建立人力资源基础上，自然资源匮乏反而不重要了。
54、除了ZFC公理系统，冯·诺伊曼(vonNeumann)、博内斯(Bernays)和哥德尔(Gödel)提出的NBG公理系统也能解决罗素悖论。
55、从现实空间分析“所有集合的集合”可得出，“所有集合的集合”必须依据“所有集合”的存在而存在，“所有集合”产生的时间在前，“所有集合的集合”产生的时间在后。在统计“所有集合”时，被统计到的集合只能是当时已经存在的集合，统计不到当时不存在的集合，“所有集合”被统计完成后才能产生“所有集合的集合”。“的集合”中的“集合”与“所有集合”中的“集合”同名不同时，“的集合”中的“集合”不是之前那个“所有集合”之内的集合。
56、关于没有定义，可以展开一下。例如对于变量x没有任何定义，这是缺少定义；对于x定义为x，这是重言定义；对于x定义为(x=0ifx=1andx=1ifx=0)，这是矛盾定义。这三种定义，都没有给出正确的定义。
57、现代集合论的诸种公理，非常具体地规定了如何建立“其他集合的集合”(setsofothersets)。
58、为了解决集合论的问题，数学家们目前的选择，是将集合论公理化。
59、如果是上帝想阻止“恶”而阻止不了，那么上帝就是无能的；
60、策梅洛(Zermelo)、弗伦克尔(Fraenkel)、冯·诺伊曼(vonNeumann)等人提出了一系列公理对集合的构造加以限制，从而排除了罗素悖论中集合的存在。
61、对于这一悖论，现今主要有ZFC公理系统和NBG公理系统，替代原有的朴素集合论，以解决罗素悖论。
62、悖论通常是指这样一种命题，按普遍认可的逻辑推理方式，可推导出两个对立的结论，形式为：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
63、尽管有这些限制，现代集合论的诸种公理，仍然足够灵活，结合形式逻辑的规则，它们基本上为整个现代数学提供了坚实的基础。
64、忒修斯悖论，也叫忒修斯之船或特修斯之船，是最为古老的思想实验之一：假定物体的构成要素被替换后，它还是原来的物体吗？
65、比如，数学的发展就曾面临过几次极其严峻的考验。距离目前最近的一次，就是20世纪罗素悖论对康托尔集合论的冲击(也称第三次数学危机)。
66、在19世纪末至20世纪初，逻辑和数学的基础受到许多困难(所谓的悖论)的发现的影响，特别是经典集合论中被发现有自相矛盾的现象，尤其是罗素悖论 ，以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。
67、这就引出一个问题: 他该不该给自己理发? 或者问: 他的头发应由谁理? 要是他给自己理发, 那么他就违反了自己的规定; 因为按规定, 他不应该为自己理发。
68、如果教廷回答说能的，那上帝不能搬动他创造的那块石头，所以上帝不是万能的；如果教廷回答说不能，那么上帝不能创造出一块他搬不动的石头，所以上帝也不是无所不能的。
69、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，而且很快渗透到大部分数学分支，并成为它们的基础。但到了19世纪末，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素悖论的提出，使数学的基础动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
70、庄朝晖，关于对角线方法和停机问题的评论，第五届两岸逻辑教学与研究学术会议，重庆西南大学，2012年4月.
71、在假设推理这几个悖论题时，把后面时间发生的事件(误)当作前面时间发生的事件，是这四个逻辑题成为悖论的原因。
72、集合论为数学奠定了坚实的基础，许多概念不清的问题利用集合论得到了完美的解释。数学家希尔伯特度赞誉康托尔的集合论是“数学天才最优秀的作品”，是“人类纯粹智力活动的最高成就之一”。
73、既然避免了在未来发生不幸，那么张三怎么会在穿越后得知自己将发生不幸？
74、一个关于数字的无限聚集，比如自然数N=5……应该也是一个集合。
75、集合论的创建者是康托尔(Cantor,1845-1918)，当他29岁时，在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性文章，此后，他从事集合与超限数方面的研究长达20多年。
76、既然没有喝那杯咖啡，那么张三怎么会发出那条消息？
77、有时候，数学的问题，可以在数学之外得到解决。
78、1)恶是上帝计划中的一部分，是其实现善的手段；
79、伯特兰·罗素(BertrandRussell,1872-1970)，英国哲学家、数学家、逻辑学家、历史学家、文学家，他与怀特海合著的《数学原理》(ThePrinciplesofMathematics,1903)一书对哲学、数学和数理逻辑有着巨大的影响，使得他在学术上赢得了极其崇高的地位和荣誉。
80、C={x|x是拖拉机}是一个集合，任何一台拖拉机都是这个集合的元素。
81、集合中可以包含另外的集合，如A={1,3,5,8}，B={8,5}，那么B⊂A(B是A的子集(subset))。
82、尤其，这些公理立即禁止“一个集合成为其自身的一个成员”(即，自含集合)。
83、张三穿越到未来，得知自己将发生不幸；为了避免不幸的发生，张三回到现实做出了避免导致不幸发生的行为；结果就是张三在未来没有发生不幸。
84、如果我们问，一个元素的集合可以包括它自己吗？这个答案是肯定的。比如，一个集合由所有含无限多元素的集合组成，那这个集合中肯定包括它自己。
85、在朴素的集合论中有这样一个假设：对于任何一个性质，满足该性质的所有元素，可以组成一个集合。
86、由于这几个悖论迟迟得不到解决，康托尔承受着巨大的精神压力，最终精神失常，死在了哈勒大学精神病院里。时至今日，第三次数学危机依然没有完美解决。数学家们只是通过人为添加一些限制条件以回避悖论的出现。
87、“说谎者悖论”的内容是：如果某人说自己正在说谎，那么Ta说的话是真还是假？
88、但是，招牌上说明他不给这类人理发，因此他不能自己理。
89、张三喝了杯有毒的咖啡，并随着时间的推移，咖啡中的毒起了作用；张三向过去的自己发了条消息告诉过去的自己不要喝那杯咖啡；结果就是过去的张三没喝那杯咖啡。
90、德国逻辑学家弗雷格(Frege)曾在自己的著作中写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成的时候却发现所干的工作的基础都崩溃了。”作为逻辑结构，数学已经处于一种悲惨的境地，数学家们以向往的心情回顾这些矛盾被认识以前的美好时代。(Kline,1972)
91、上文，我们已经将平面中的一条线段，考虑为一个集合。